On s'intéresse ici à l'utilisation de la méthode d'Euler et aux capacités de Cabri Géomètre pour résoudre le problème posé par la gravitation.

Le principe fondamental de la dynamique F=ms dv/dt
et l'expession de la force gravitationnelle F=G mt ms / r² r/r

permettent de déterminer la trajectoire d'un objet de masse ms dans le champ de gravitation créé par la masse mt .
Pour une approche plus complète de la méthode d'Euler, on lira avec le plus grand profit les articles de Dominique Tournès et Daniel Courounadin sur le site web de Yves Martin : http://www-cabri.imag.fr/abracadabri/Courbes/EquaDiff/EDiffGene.html
http://www-cabri.imag.fr/abracadabri/Coniques/UtilizConik/EulerPlanet/EulerPlanet.html

L'approche des constructions présentées ici correspond à l'esprit du nouveau programme de Sciences Physiques de 2002 : " ... calculer et prévoir l'évolution temporelle d'un système mécanique une fois connue les forces mises en jeu et les conditions initiales." Groupe d'Experts Physique Chimie Février 2001.

Méthode d'Euler ordre 1

Les relations importantes :

Force gravitationnelle subie par la masse (satellite) : F = G mt ms / r² r/r, la force est attractive dirigée vers T.
F = ms a = ms dv/dt et a = G mt / r² r/r
r1 = ro + vo dt (ou dr = v dt) au premier ordre
v1 = vo + ao dt

Construction :

- Tracer 3 segments, sur des droites horizontales, qui représentent les masses mt (Terre) et ms (satellite), et l'intervalle de temps dt.
On utilisera la longueur de ces segments comme paramètres dans les calculs suivants, (multipliés éventuellement par un coefficient pour les échelles).

- Placer les points T (Terre) et Mo (position initiale du satellite)

- Tracer le vecteur vo, vitesse initiale du point Mo.
Ce vecteur peut avantageusement être créé autour d'un point fixe afin de rendre sa manipulation plus facile. Il faut alors le reporter en Mo.

- Mesurer la distance ro=distance (T Mo) et la longueur vo du vecteur vo.

- Calculer Fo= G ms mt /ro²

et ao= G mt / ro² .

- Reporter Fo sur la demi-droite (Mo T), pour définir le vecteur Fo.

- Calculer la grandeur vo dt, et la reporter sur la demi-droite (Mo vo), pour définir le point M1
r1 = ro + vo dt (ou dr = v dt)

- Calculer la grandeur ao dt, et la reporter sur la demi-droite (Mo T), pour définir le vecteur (ao dt)
v1 = vo + ao dt
v1 est obtenu par addition vectorielle de vo et ao dt au point M1.

- Mesurer la grandeur obtenue r1 pour calculer F1= G ms mt /r1²,

- Reporter F1 sur la demi-droite (M1 T), pour définir le vecteur F1.

Après un peu de nettoyage,

ou bien avec tous les éléments de la construction,

On peut alors recommencer pour le couple (M1, v1).

- Mesurer la grandeur obtenue v1 pour calculer a1= G mt /r1², v1 dt et a1 dt

- Reporter v1 dt sur la demi-droite (M1 v1), pour définir le point M2
r2 = r1 + v1 dt (ou dr = v dt)

- Reporter a1 dt sur la demi-droite (Mo T), pour définir le vecteur (a1 dt)
v2 = v1 + a1 dt
v2 est obtenu par addition vectorielle de v1 et a1 dt au point M2.

Recommencer pour le couple (M2, v2)....... ou plus simplement définir une macro.

Définition de la macro construction Euler1_G_F : (1 pour ordre 1, G gravitation, F vecteur Force)

Objets initiaux : valeurs numériques de mt, ms, dt, G, points T et Mo, vecteur vo

Objets finaux : point M1, vecteurs v1 et F1

A partir de cette macro, on peut en définir une seconde qui trace 4 points successifs et la conique définie par les 5 points Mo à M4 (avec l'outil Conique de Cabri).

Définition de la macro construction Euler1_G_4CnkF : (1 pour ordre 1, G gravitation, 4 pour les 4 points, Cnk pour la conique, F vecteur Force)

Objets initiaux : valeurs numériques de mt, ms, dt, G, points T et Mo, vecteur vo

Objets finaux : points M1 à M4, vecteurs v4 et F4 et la conique définie par les 5 points.

Pour placer plusieurs (10) points on peut définir la macro

Définition de la macro construction Euler1_G_10P1F : (1 pour ordre 1, G gravitation, 10 pour les 10 points, 1F vecteur Force)

Objets initiaux : valeurs numériques de mt, ms, dt, G, points T et Mo, vecteur vo

Objets finaux : points M1 à M10, vecteurs v10 et F10 .

Appliquée 10 fois, on obtient,

(fig10pts.fig)
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Méthode d'Euler ordre 2

Les relations importantes :

Force gravitationnelle subie par le satellite : F = G mt ms / r² r/r, la force est attractive dirigée vers T.

F = ms a = ms dv/dt et a = G mt / r² r/r

Puisqu'on connait le vecteur accélération, on peut écrire : r1 = ro + vo dt + ao dt² /2 au deuxième ordre.

v1 = vo + ao dt

Construction :

- Tracer 3 segments, sur des droites horizontales, qui représentent les masses mt (Terre) et ms (satellite), et l'intervalle de temps dt.
On utilisera la longueur de ces segments comme paramètres dans les calculs suivants, (multipliés éventuellement par un coefficient pour les échelles).

- Placer les points T (Terre) et Mo (position initiale du satellite)

- Tracer le vecteur vo, vitesse initiale du point Mo.
Ce vecteur peut avantageusement être créé autour d'un point fixe afin de rendre sa manipulation plus facile. Il faut alors le reporter en Mo.

- Mesurer la distance ro=distance (T Mo) et la longueur vo du vecteur vo.

- Calculer Fo= G ms mt /ro² et ao= G mt /ro²

- Reporter Fo sur la demi-droite (Mo T), pour définir le vecteur Fo

- Calculer la grandeur vo dt, et la reporter sur la demi-droite (Mo vo), pour définir le point M'

- Calculer la grandeur ao dt² /2, et la reporter sur la demi-droite (Mo T), pour définir le point M''

- Additionner les vecteurs MoM' et MoM'' au point Mo, pour définir le point M1,
r1 = ro + vo dt + ao dt² /2 au deuxième ordre

- Calculer la grandeur ao dt, et la reporter sur la demi-droite (Mo T), pour définir le vecteur (ao dt)
v1 = vo + ao dt

v1 est obtenu par addition vectorielle de vo et ao dt au point M1, qui n'est plus sur la demi-droite (Mo vo) , comme dans l'approximation d'ordre 1.

- Mesurer la grandeur obtenue r1 pour calculer F1= G ms mt /r1²,

- Reporter F1 sur la demi-droite (M1 T), pour définir le vecteur F1.

On peut recommencer pour le couple (M1, v1)…...

Définition de la macro construction Euler2_G_F : (2 pour ordre 2, G gravitation, F vecteur Force)

Objets initiaux : valeurs numériques de mt, ms, dt, G, points T et Mo, vecteur vo

Objets finaux : point M1, vecteurs v1 et F1

Comme pour l'ordre 1, à partir de cette macro, on peut en définir une seconde qui trace 4 points successifs et la conique définie par les 5 points Mo à M4 (avec l'outil Conique de Cabri).

(figb9.fig)

Définition de la macro construction Euler2_G_4CnkF : (2 pour ordre 2, G gravitation, 4 pour les 4 points, Cnk pour la conique, F vecteur Force)

Objets initiaux : valeurs numériques de mt, ms, dt, G, points T et Mo, vecteur vo

Objets finaux : points M1 à M4, vecteurs v4 et F4 et la conique définie par les 5 points.

Pour placer plusieurs (10) points à la fois on peut aussi définir une autre macro,

Définition de la macro construction Euler2_G_10P1F : (2 pour ordre 2, G gravitation, 10 pour les 10 points, 1F vecteur Force)

Objets initiaux : valeurs numériques de mt, ms, dt, G, points T et Mo, vecteur vo

Objets finaux : points M1 à M10, vecteurs v10 et F10 .

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Méthode Cabri Géomètre exacte.

Les relations importantes :

Force gravitationnelle subie par le satellite : F = G mt ms / r² r/r, la force est attractive dirigée vers T.

F = ms a = ms dv/dt

a = G mt / r² r/r

L'accélération normale à la trajectoire est aN= vo² / Rayon de courbure.

Le centre de courbure C définit le cercle osculateur de la conique au point Mo.

Cabri Géomètre peut construire la conique définie par un foyer et le cercle osculateur en un point.

Construction :

- Tracer 3 segments, sur des droites horizontales, qui représentent les masses mt (Terre) et ms (satellite), et l'intervalle de temps dt.
On utilisera la longueur de ces segments comme paramètres dans les calculs suivants, (multipliés éventuellement par un coefficient pour les échelles).

- Placer les points T (Terre) et Mo (position initiale du satellite)

- Tracer le vecteur vo, vitesse initiale du point Mo.
Ce vecteur peut avantageusement être créé autour d'un point fixe afin de rendre sa manipulation plus facile. Il faut alors le reporter en Mo (mais cette solution peut poser un problème lors de la définition de la macro commande Cabri qui utilise la tangente à la trajectoire, voir plus loin).

- Mesurer la distance ro=distance (T Mo) et la longueur vo du vecteur vo.

- Calculer ao= G mt /ro² ,

- Reporter ao sur la demi-droite (Mo T), pour définir le vecteur ao ,

- Tracer la perpendiculaire à (Mo vo) = normale à la trajectoire au point Mo ,

- Projeter l'extrémité de ao sur cette normale pour obtenir aN et sa longueur aN .

(Figc2.fig)

- Calculer le rayon de courbure par R=vo²/aN et placer le point C , centre du cercle osculateur sur la demi-droite (Mo aN) .

- Tracer le cercle passant par Mo et C dont le centre est le milieu de MoC. Ce cercle coupe la demi-droite MoT au point P

 (figc3.fig)

- Tracer la perpendiculaire à MoC passant par P , Q est la projection orthogonale de P sur MoC

- Tracer la droite passant par T et Q,

- P' est le le symétrique de P par rapport à la droite MoC,

 (figc4.fig)

- Tracer la droite passant par Mo et P' ,

- Les droites TQ et MoP' se coupe au deuxième foyer T'.

- Utiliser la macro "Conique par 2Foyers et une tangente"

(http://www-cabri.imag.fr/abracadabri/Coniques/BiFocale/PropBiFocale/FigBFIntro/Cnk2F1Tg.mac par exemple chez Y. Martin) pour obtenir la conique résultante. Attention , la droite qui sert dans la définition de la macro est définie après la construction du vecteur vo et non avant vo (ce qui peut arriver si on utilise comme ici une construction auxiliaire pour la définition de vo).

La trajectoire de la masse ms est la conique obtenue. Il s'agit d'une solution exacte (mais qui exclu la parabole).

On peut aussi ajouter le vecteur Fo

- Calculer Fo= G ms mt /ro² et reporter Fo sur la demi-droite (Mo T), pour définir le vecteur Fo ,

 (figc5.fig)

Après nettoyage

 (figc6n.fig)

Définition de la macro construction Conique_gravitationF :

Objets initiaux : valeurs numériques de mt, ms, G, points T et Mo, vecteur vo .

Objets finaux : Vecteur F, 2ième Foyer et conique trajectoire.

Si on ne veut pas tracer le vecteur F, la valeur de ms est inutile, on crée alors la macro Conique_gravitation.

Définition de la macro construction Conique_gravitation :

Objets initiaux : valeurs numériques de mt, G, points T et Mo, vecteur vo .

Objets finaux : 2ième Foyer et conique trajectoire.

 (figc7.fig)

Il peut être intéressant de faire des constructions à l'échelle, avec G=6.67 10^-11 et les distances en km avec 1cm=10 000km par exemple, l'unité de masse est prise égale à la masse de la terre MT=5.96 10²⁴ kg .

 (Figd12net.fig)

Les macro-constructions intéressantes deviennent :

Définition de la macro construction Conique_gravitationEch_mt_km.mac

Objets initiaux : masse mp (unité = masse de la terre = 5.96e24 kg) , echelle en km/cm, points T et Mo, vecteur vo . *******ATTENTION ms et G sont inutiles******

Objets finaux : Conique solution du mouvement de M autour de T avec les foyers

Pour ajouter le point M avec son vecteur vitesse vM à partir des conditions fixées par mp, T, Mo et vo :

Définition de la macro construction CnkG_Ech_mt_km_vM1.mac

Objets initiaux : masse mp (unité=masse de la terre= 5.96e24kg) , échelle en km/cm, points T et Mo, vecteur vo, la conique, le point M .

Objet final : vecteur vM

et pour finir avec les calculs de r, a et v d'un point M quelconque sur la trajectoire,

Définition de la macro construction CnkG_Ech_mt_km_vM1_ravM.mac

Objets initiaux : masse mp (unité = masse de la terre = 5.96e24kg) , échelle en km/cm, points T et Mo, vecteur vo, la conique, le point M .

Objets finaux : vecteur vM, nombres r=PM en km , aM en m/s2, vM en m/s .

 Comparaison des différentes méthodes :
Cabri donne la solution géométrique exacte, la méthode d'Euler à l'ordre 1 donne des valeurs par excès , la méthode d'Euler à l'ordre 2 donne des valeurs par défaut pour les premiers vecteurs calculés.

Si le pas de la discrétisation temporelle est assez petit , les coniques obtenues avec les 3 méthodes sont indiscernables ;