Nous avons vu au chapitre que les proportions étaient assimilables à des moyennes et qu'on pouvait, sous certaines conditions (Np et N(1 - p) > 5) traiter les tests d'hypothèses sur les proportions comme ceux sur les moyennes. Nous pouvons étendre la même logique aux comparaisons de deux proportions d'échantillons et appliquer un test t (nous ne verrons ici que le cas d'écahntillons indépendants).

Comme pour les moyennes, il va falloir estimer la variance de la population à partir de celles des deux échantillons.

Nous appellerons :

• p₁ et p₂ les proportions à comparer ;
• N₁ et N₂ les tailles respectives de ces échantillons.

Les effectifs de la modalité concernée dans les deux échantillons sont respectivement N₁p₁ et N₂p₂. Par exemple, pour le Petit Prince, on a 0.82 x 300 = 246 mots qui appartiennent au français fondamental, et pour Le Monde, 0.71 x 200 = 213. Souvent, on connaît directement cette valeur, parce qu'on a justement compté la modalité (dans notre exemple ce n'est pas le cas car le logiciel utilisé, Cordial, nous donne simplement un pourcentage).

Il suffit d'ajouter ces deux valeurs pour avoir l'effectif total de la modalité en question sur les deux échantillons combinés. Dans notre exemple 246 + 213 = 459. Comme on connaît l'effectif total (N₁ + N₂) il est élémentaire de déduire la proportion combinée :

Dans notre exemple p = 460 / 600.

L'écart-type combiné correspond à la formule habituelle :

s =

Une fois p calculé, on obtient facilement la statistique z :

			p1 - p2
z	=
		s
					1 1  +  N1 N2

Dans le cas qui nous a servi d'exemple on trouve z = 3.18, ce qui correspond à une p.c. unilatérale de 0.001. On peut donc rejeter l'hypothèse nulle. Le Petit Prince est bien écrit avec un vocabulaire plus simple que celui d'un quotidien comme Le Monde.

On n'a généralement pas à faire les calculs détaillés, car la plupart des logiciels fournissent des fonctions qui donnent directement la valeur ci-dessus. On trouvera en annexe une feuille qui fait ce calcul .

Comme précédemment, il sera bon d'évaluer la taille des échantillons nécessaires à l'aide de la feuille de calcul de puissance avant d'entreprendre un test.

Les calculs sont exactement les mêmes que pour le cas 2 x 2. A titre d'exemple nous allons examiner la distribution du mot Jésus dans les quatre évangiles. Les quatre évangiles utilisent-ils ce mot avec des fréquences comparables ? On obtient un tableau 2 x 4.

Etant donné que ces comptages sont simples à effectuer avec des outils informatiques, nous avons pris la totalité de chaque texte, que nous pouvons considérer, avec un peu d'imagination, comme un échantillon extrait d'une population infinie, dans laquelle les occurrences du mot Jésus auraient la proportion moyenne observée sur les quatre textes.

On peut effectuer un test de χ², dont le détail des calculs est le suivant.

On doit chercher la p.c. dans la distribution du χ² à (2 - 1) x (4 - 1) = 3 degrés de libertés. On trouve 1,16 x 10^-8. On peut rejeter l'hypothèse nulle sans hésitation, et affirmer la présence d'une différence importante entre les quatre évangiles.

L'examen des tableaux de calcul nous permet d'analyser la situation plus en détail. Le tableau des écarts montre la direction des différences. Le dernier tableau (écarts pondérés) donne la contribution au χ² de chacune de cases. Les différences les plus importantes correspondent aux contributions les plus élevées au χ² final. Les différences correspondent à un excédent du mot Jésus par rapport à la moyenne pour Jean et Marc (en rouge), et pour un déficit pour Luc et Matthieu (en vert).

On peut calculer la contribution de chacune des cases au χ² global.

On voit qu'à lui seul, Jean contribue à près de la moitié du χ² global. C'est l'évangile qui se distingue le plus des autres. On a ensuite d'une part Marc, en excédent modéré d'un côté, et Luc et Matthieu d'autre part, avec des déficits comparables.

Ces constatations prennent un certain relief quand on sait que les historiens considèrent que Jean a été écrit le plus tardivement, dans une communauté chrétienne héllénistique (Ephèse ?). Quant à Luc et Matthieu, on considère généralement qu'ils ont été écrits à Rome, à partir de Marc qui leur a servi de source. On retrouve manifestement les traces de cette généalogie dans l'analyse des données.

L'utilisation du test de χ² nécessite quelques précautions :

1. On doit faire les calculs sur les effectifs, pas sur les pourcentages !

2. Les observations doivent être indépendantes.

3. L'effectif minimum dans chaque case doit être > 5 (ceci est l'équivalent la condition Np et N(1 - p) > 5 déjà rencontrée).

4. On doit inclure les non-occurrences dans le tableau (il ne serait pas correct de faire un tableau 1 x 4 dans l'exemple précédent, en ne retenant que les occurrences du mot Jésus).